Représentation directe
On rappelle que la propagation des ondes acoustiques dans un milieu homogène d'impédance caractéristique
est décrite par l'équation de Helmholtz
| (1) |
où
est la pression et
le nombre d'onde. Nous nous intéressons au calcul du champ de pression à l'extérieur d'une structure de surface fermée
(figure 1). On désigne par
et
l'intérieur et l'extérieur de l'objet. La surface fictive
est une sphère de rayon arbitrairement grand.
Attention :
ici, nous considérons les solutions harmoniques du temps avec la convention
.
Pour n'importe quelle fonction régulière
sur
l'application du deuxième théorème de Green donne
| (2) |
où
désigne les frontières de
. Ainsi, si
est solution de (1) alors
| (3) |
On prend maintenant deux points de l'espace
et
et on définit la fonction de Green
| (4) |
Attention :
Pour la suite de la démonstration, il est essentiel de considérer
comme une fonction de
alors que le point
est fixe.
On voit ainsi que
vérifie (1) sauf au point
où
n'est pas définie. Pour contourner la difficulté, on considère une petite surface sphérique notée
centrée sur
et de rayon
. En appliquant (3) alors
| (5) |
Ici,
signifie que l'on dérive par rapport à la normale
au point
. Notons que lorsque
n'est pas sur la frontière du domaine,
forme une sphère complète alors qu'elle est limitée à un certain secteur angulaire dans le cas où
repose sur le bord de la structure (figure 2). Maintenant, en faisant tendre
vers 0, alors
| (6) |
où
désigne l'angle solide
| (7) |
Le traitement de l'intégrale sur
se fait en rappelant que la pression rayonnée doit satisfaire la condition de Sommerfeld :
et
lorsque
.
En observant que la fonction de Green satisfait aussi cette condition, on trouve que l'intégrale sur
tends vers zéro.
Cela donne
| (8) |
où on a posé
. Ainsi
si
et
si
et si la surface est plane au voisinage de
. On remarque de plus, à partir de (3) qu'on a nécessairement
si
. L'équation (8) se généralise facilement en présence d'un champ incident
. On obtient finalement
| (9) |
|---|
L'équation (9) est appelée formulation directe. En rappelant que
où
représente la vitesse acoustique normale à la paroi, on voit que les données sur les bords de l'obstacle sont les variables physiques : vitesse et pression. Il est parfois utile d'avoir une formule similaire pour la vitesse acoustique, il faut pour cela dériver (9) selon la normale
au point
(à condition que la surface soit régulière en ce point). Cette opération n'est pas triviale mais on peut montrer que
| (10) |
|---|
Les équations (9) et (10) sont fondamentales et sont à la base de la méthode des éléments de frontière.
Remarque :
La dérivée selon la normale à la surface d'une fonction
définie dans
doit être interprétée comme la limite du gradient de la fonction calculé dans
, c'est-à-dire
| (11) |
pour un point
.
Remarque :
Notons que l'opérateur de dérivation
est volontairement laissé à l'extérieur de la deuxième intégrale. En fait on montre que
| (12) |
L'intégrale de droite est divergente et le signe P.F. signifie qu'il faut calculer cette intégrale au sens de la partie finie de Hadamard. Ce calcul n'est pas simple et doit être mené avec précaution (voir Section 5).
Exemple : Diffraction par une structure localement réactive
On considère une surface traitée acoustiquement avec une impédance localisée
.
La condition aux limites sur les bords s'écrit
| (13) |
où on a posé
. La formulation directe (9) sur le bord régulier
devient
| (14) |
