6 Convergence, pollution, dispersion
Il est généralement conseillé de prendre entre 6 et 10 noeuds par longueur d'onde pour des éléments linéaire, et au moins 4 points pour des éléments quadratiques afin d'obtenir des résultats corrects. Cependant la discrétisation dépend surtout des attentes de l'utilisateur en terme de précision des résultats.
Par ailleurs, la convergence de la méthodes des éléments finis est limitée par l'interpolation numérique et par la dispersion numérique. L'erreur commise est ainsi bornée par :
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avec
le nombre d'onde,
la taille des éléments,
le degré du polynôme, C1 et C2 des constantes, et
une dimension caractéristique de la structure.
Le premier terme est lié à l'interpolation. On voit ainsi que les éléments quadratiques
convergent beaucoup plus rapidement que les éléments linéaires
. Le deuxième terme représente l'erreur de pollution lié à la dispersion numérique. Le cumul de ces erreurs sur plusieurs longueurs d'ondes peut conduire à des erreurs globales très importantes. Ce problème de pollution de la solution est ainsi très restrictif et limite très souvent la méthode des éléments finis aux moyennes fréquences. Pour les hautes fréquences, plusieurs méthodes existent : les méthodes statistiques (Statistical Energy Analysis), les méthodes hybrides (SEA + FEM), ou encore les méthodes basées sur une décomposition en ondes planes (PUFEM, UWVF, TVRC, WBEMEFGM, DEM). La plupart de ces méthodes ne sont pas encore disponibles dans les codes standards du commerce mais montrent néanmoins de très bonnes performances en hautes fréquences.
